Thursday, 8 March 2018

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय


जैसा की आप सभी जानते है पाइथागोरस प्रमेय के बारे में. यूनानी गणितज्ञ  पाइथागोरस ने इस प्रमेय की रचना की थी . उनके अनुसार किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग, लंब व आधार के वर्ग की योग के बराबर होता है. पर उनसे पूर्व भारतीय गणितज्ञ बोधायन इस प्रमेय की खोज कर चुके थे.  भारत के प्राचीन ग्रंथ बौधायन शुल्बसूत्र में यह प्रमेय दिया हुआ है।  इसे 'बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय' भी कहते हैं।

बोधायन के अनुसार किसी समकोण  त्रिभुज के कर्ण  पर बने हुए वर्ग का क्षेत्रफल बाकि दोनों भुजाओ पर बने हुए वर्गो के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है. माना जाता है की यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस भारत भ्रमण पर आये और इस प्रमेय को चुराकर यूनान ले गए और उसे नए रूप में प्रस्तुत किया. जिसे आज हम पढ़ते है. पर वास्तिकता यही है की इस प्रमेय का सिद्धिकरण बोधायन की सूत्र से ही होता है.

अगर हम कर्ण की लंबाई को c और अन्य दो भुजाओं की लंबाई को a और b लेते हैं, तो प्रमेय को निम्नलिखित समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
C2 = a2+ b2
 यह समीकरण समकोण त्रिभुज की तीनो भुजाओ के बीच एक साधारण  सम्बन्ध को दर्शाता है. सामान्य रूप से इसे कोज्या का नियम भी कहते है जिसकी सहायता से हम किसी समकोण त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई ज्ञात कर सकते है यदि उसकी अन्य दो भुजाओ की माप दी गयी हो. त्रिकोणमिति में इस सूत्र का प्रयोग अनिवार्य रूप से होता है.

धन्यवाद 

Monday, 19 February 2018

उम्र सम्बन्धी प्रश्न

प्रश्न:१ ,  राम की वर्तमान उम्र उसके पिताजी की वर्तमान उम्र की ५वा भाग है. १० साल बाद राम की उम्र उसके पिताजी की उम्र का तीसरा भाग है तो बताइये राम और उसके पिताजी की बर्तमान उम्र क्या है?

उत्तर- इस  प्रश्नो में सर्वप्रथम कुछ  बीजीय संख्या मान कर चलते है।  निचे देखिये

माना राम की  x है और उसके पिताजी की वर्तमान उम्र y है।

तो शर्तानुसार , राम की वर्तमान उम्र पिताजी की वर्तमान उम्र का पांचवा भाग है अर्थार्थ-

x = y/5-----------(1)

द्वितीय शर्तानुसार ,

१० साल बाद राम की उम्र उसके पिताजी की उम्र का तीसरा भाग हो जाता है।  तो सर्वप्रथम  दोनों की १० साल बाद की उम्र का पता करेंगे.

१० साल बाद राम की उम्र होगी= (x+10)
१० साल बाद पिताजी की उम्र होगी= (y+10)

तो शर्तानुसार १० साल बाद राम की उम्र पिताजी की उम्र का तीसरा भाग होगी इसलिए

(X+10)= (Y+10)/3----------------(2)

समीकरण (२ ) को सरलतम  करने पर
3x +30= Y+10-------------------(3)

समीकरण (१) से X = य/5 समीकरण (3) में रखने पर
3(y/5)+30=Y+10
3y+150= 5y+50

150=2y+50
2y= 100
y=50

y का मान समीकरण (१) में रखने पर

x= y/5

x= 50/5
x=10

इसलिए राम की उम्र १० साल व पिताजी की उम्र ५० साल होगी

उत्तर प्राप्त किया
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प्रश्न- ०२,  राम, श्याम  और विक्की की आयु का नुपात १:२:३ है और तीनो की आयु का औसत २४ है. तो तीन साल बाद बिक्की की आयु क्या होगी?

उत्तर - (सबसे पहले हमेशा आप यह याद रखे की जब भी कोई अनुपात वाला प्रश्न आता है तो आप उस अनुपात के लिए एक "संयुक्त संख्या" को मान लीजिये. संयुक्त संख्या जैसे (x ) मान लिया.  अब इस प्रश्न में तीनो की आयु का अनुपात १:२:३ है तो इनकी वास्तविक आयु हो जाएगी १x , 2x एवं 3x  हो जाएगी. याद रखे अनुपात वाले प्रश्नो  में वास्तविक संख्या ऐसे ही प्राप्त करते है संयुक्त संख्या के साथ गुणा करके.

अब प्रश्न के अनुसार इनकी आयु का औसत २४  है. औसत क्या होता है, सभी न म्बरो का जोड़ और कुल संख्या  का भाग. जैसे यहाँ इनकी आयु का ोासत २४ है तो यह निम्न प्रकार होगा.

1x +2x +3x/ ३ = 6x / ३ = 2x
यह 2x बराबर है २४ के इसलिए
२x =२४
x =१२
इसलिए राम की आयु होगी = 1x = १ गुणा १२ = १२
श्याम  की आयु होगी = २ x = २  गुणा १२ = २४ 

विक्की  की आयु होगी = ३ x = ३  गुणा १२ = ३६   

अतः ३ साल बाद बिक्की की आयु होगी ३६+३= ३९ 


उत्तर प्राप्त किया